El volante dio sus primeros pasos en el fútbol en las categorías inferiores de Newell´s Old Boys de Rosario, donde estuvo hasta tercera división. En agosto de 2019, Barrenechea obtuvo el pasaporte europeo y fue vendido al Sion de Suiza por 3,3 millones de euros.
En el equipo suizo llamó rápidamente la atención de varios equipos grandes de Europa y fue la Juventus de Italia que adquirió su pase por alrededor de 5 millones de euros en enero de 2020. El cordobés se sumó a las filas del equipo sub 19 de los turineses y, en tres años, escaló dos categorías hasta ganarse un lugar en el plantel profesional de la ´Vecchia Signora´ en 2022.
Fue el 2 de noviembre de ese año cuando Barrenechea debutó con la camiseta del elenco de Turín en fase de grupos de la Champions League ante el Paris Saint Germain, donde en ese momento militaba el astro argentino Lionel Messi.
Para la temporada 2023/24, la Juventus decidió cederlo al Frosinone, donde jugó 39 partidos y marcó un solo gol. En su vuelta a Juventus no sumó minutos, ya que fue vendido al Aston Villa de Inglaterra por 8 millones de dólares.
Barrenechea duró solo dos meses en el equipo inglés, puesto que fue cedido al Valencia de España, donde, hasta el día de hoy, lleva jugados siete partidos con un solo tanto ante el Getafe en la fecha 11 de LaLiga. A raíz de su aparición en el elenco español, el volante fue citado por primera vez al seleccionado mayor.